聊聊二进制中的原码、反码和补码
原码、反码和补码是计算机使用二进制表示整数知识中的三个基础概念。这种概念类的知识往往有这么几个特点：
- 难于理解。本来很简单的知识，封装成概念，复杂性就提高了
- 易于遗忘。即便学会了，过不了几年就又都忘了
- 各类考试很爱考。不管是学校的期末考试，还是社会性的考试如软考，都爱考这种知识
- 缺乏实际价值。原码和反码可以说是计算机发展过程中走的弯路，补码是最终的解决方案
所以，如果你想学到真正有用的知识的话，读到这里就可以关闭了。如果你想学到关于原码、反码和补码的一些没用的知识，你可以继续读下去。我希望可以用一篇文章来助你彻底理解这三个概念，且不会随时间流逝而遗忘。
让一切回到起点
让我们回到起点。现在你正在从头发明计算机，由于基础电路天然适于运算二进制，所以我们已经决定使用二进制来表示数据。为简便起见，我们只讨论用一个字节（8位二进制位）表示整数的情况。
因为整数分正数和负数，我们就想到可以用最高位表示正负（0 表示正，1 表示负），其余位表示数值。如：
| 十进制 | 二进制 |
|---|---|
| 3 | 0000 0011 |
| -3 | 1000 0011 |
| 0 | 0000 0000 |
| -0 | 1000 0000 |
如果不考虑符号位，0000 0011(3)+1000 0011(-3)=1000 0110(-6)，这显然不对。
计算的时候还是需要考虑符号位，如一个正数和一个负数相加时需要考虑：
- 谁的绝对值更大（绝对值就是把符号位去掉后的值）
- 绝对值大的一方的符号就是计算结果的符号
- 用绝对值大的一方减去绝对值小的一方就是计算结果的数值
按照这个思路，我们设计的算数逻辑单元（ALU）中除了加法器外还需要：
- 比较器，用来比较绝对值大小
- 减法器，用来计算两个数的差值
是的，最早期的计算机就是这样设计的，上面这种二进制编码方式也被叫做原码。站在现代的角度看，原码存在这么几个问题：
- 符号位不能直接参与运算
- 0 存在 +0 和 -0 两种表示
- 计算逻辑比较复杂
但站在当时的角度，这种解决方案是最容易想到也是最直观的。
进化的发生
原码解决了在计算机中表示整数的问题，但是不够优雅。就像是程序员写了一段很复杂的代码，虽然功能实现了，但心里总是很不得劲。有没有更简便的方式？原码存在的最核心的问题在于：符号位不能参与计算。
假如符号位可以直接相加，那么计算正数和负数相加时，就不再需要比较谁的绝对值大了，ALU 中也就不再需要有比较器了。
如何让符号位可以直接参与运算呢？还是以3+(-3)为例，我们都知道结果是 0.
3 的二进制是 0000 0011，如果把 3 的二进制按位取反，得到 1111 1100，用这个数来表示 -3。那么:
| 十进制 | 二进制 |
|---|---|
| 3 | 0000 0011 |
| -3 | 1111 1100 |
| 0 | 0000 0000 |
| -0 | 1111 1111 |
那么，0000 0011(3)+1111 1100(-3)=1111 1111(-0)，这显然对了，毕竟 -0 也是 0 嘛。
再看看其他情况，如 3+(-2)=1。
| 十进制 | 二进制 |
|---|---|
| 3 | 0000 0011 |
| -2 | 1111 1101 |
| 1 | 0000 0001 |
那么，0000 0011(3)+1111 1101(-2)=1 0000 0000，产生了溢出，只取 8 位就是0000 0000也就是 0。
3+(-2)=1，但按这种方式得到 0，显然还是有问题。但是误差已经很小了，和真实结果只差了 1。当时的计算机科学家们还发现了一个规律：如果计算结果没有溢出，计算结果就是正确的；如果有溢出，计算结果+1就是正确的结果。
这种用二进制表示整数的方法被叫做反码。
终极形态
反码虽然并不完美，但它解决符号位不能直接参与运算的问题，同时也让 ALU 大大的简化了：
- 由于不再需要比较绝对值大小了，所以就不需要比较器了
- 正数和负数相加时不需要减法器了，而且减法运算也可以用加法器实现（如
3-2用加法器计算3+(-2)得到），这样也不需要有减法器了
相比这两个优点，反码的溢出时需要+1才能得到正确结果的这个小缺陷也就完全可以忽略不计了。
现在让我们用放大镜来看一下反码会有这个缺陷的根本原因：
| 十进制 | 二进制(反码) |
|---|---|
| 0 | 0000 0000 |
| -0 | 1111 1111 |
在现实世界中，0 就是 0，不存在 +0 和 -0 的区别。软件是对现实世界的建模，这个模型理应和现实世界一致。如果模型和现实世界不一致，那设计就一定是存在问题的，同时实现也不会优雅。
让我们暂时先放下原码和反码的表示方法，也忘记符号位。看一眼现实世界：0-1=-1。那么，0000 0000(0)-0000 0001(1)=1111 1111，那么是否可以用1111 1111来表示 -1？，然后再-1，得到1111 1110，用它表示 -2。以此类推：
| 十进制 | 原码 | 反码 | 重新发明 |
|---|---|---|---|
| 3 | 0000 0011 | 0000 0011 | 0000 0011 |
| 2 | 0000 0010 | 0000 0010 | 0000 0010 |
| 1 | 0000 0001 | 0000 0001 | 0000 0001 |
| 0 | 0000 0000 | 0000 0000 | 0000 0000 |
| -0 | 1000 0000 | 1111 1111 | - |
| -1 | 1000 0001 | 1111 1110 | 1111 1111 |
| -2 | 1000 0010 | 1111 1101 | 1111 1110 |
| -3 | 1000 0011 | 1111 1100 | 1111 1101 |
先看上表中的反码部分，0-1=-0，0-2=-1，和现实世界有个 1 的误差，这个误差是因为多出来的 -0 单独占了一个序列。
再看我们重新发明的这种表示方法，它没有 -0，所以 0-1=-1，0-2=-2，和现实世界完全一致，至此补码就被发明了。
补码建模和现实世界的逻辑完全一致，它还非常巧合的满足了在原码时代设计的符号位用 0 表示正数字 1 表示负数的设定。可以这样说，反码所能解决的问题补码也都能解决，而且使用补码计算时如果产生溢出结果也不需要再 +1。
对于上面的结论，大家可以自行验证一下。
学习之道与术
读到这里，你应该已经可以理解原码、反码和补码产生的历史背景和经过，也能理解为什么我说“原码和反码是计算机发展史上走的弯路”了吧。现在，再看一下下面这类规律是否会觉得简单很多？
- 原码 → 反码：符号位不变，数值位取反
- 反码 → 补码：反码 + 1
最后的话
如果你看到了这里，我不知道是否该恭喜你没用的知识又增加了。我认为学校只教补码即可，因为现代计算机基本上都是以补码的形式来表示整数的，学了补码就已经知道了在计算机中怎么表示整数，而原码和反码这种已经被淘汰（并且也设计不合理的东西）仅作课外了解即可，把它们当作考试内容是万万没有必要的。